Os quatro tipos de simetrias no plano

 

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Um modelo é simétrico se houver ao menos uma simetria
(rotação, transtação, reflexão, reflexão do deslize)
que não muda o modelo .

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Rotação

Rotacionar um objeto significa girá-lo ao redor de um ponto. Cada rotação tem um centro e um ângulo.


Translação

Transladar um objeto significa movê-lo sem girá-lo ou refletir. Cada translação tem um sentido e uma distância.


Reflexão

Refletir um objeto significa produzir sua imagem no espelho. Cada reflexão tem um eixo "a linha do espelho". Uma reflexão de um " R " é um R para trás.


Reflexão com Deslizamento

Uma reflexão com deslizamento combina uma reflexão com uma translação ao longo do sentido da linha do espelho. As reflexões com deslizamento são os únicos tipos de simetria que envolvem mais de uma etapa.

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As simetrias críam modelos que nos ajudam a organizar o nosso mundo conceitualmente. Os modelos simétricos ocorrem na natureza, são inventados por artistas, por músicos, por coreógrafos, e por matemáticos.

Na matemática, a idéia da simetria dá-nos uma maneira precisa de pensar sobre este assunto. Nós trabalharemos aqui só com simetrias planas, aquelas que ocorrem em um plano liso, mas as idéias generalizam às simetrias espaciais .

A simetria plana consiste em mover todos os pontos sobre o plano de modo que suas posições relativas permaneçam as mesmas, embora suas posições absolutas possam mudar. Distâncias, ângulos, tamanhos, e forma são preservadas por simetrias.

  1. Por exemplo, a rotação de 90 graus sobre um ponto fixo é um exemplo de uma simetria plana.
  2. Um outro tipo básico de simetria é uma reflexão. A reflexão de uma figura no plano em relação a uma reta move sua imagem refletida para onde apareceria se você a visse através de um espelho colocado na linha. Uma outra maneira de fazer uma reflexão é dobrar uma folha de papel e seguir a figura no outro lado da dobra.
  3. Um terceiro tipo de simetria é a translação. Transladar um objeto significa movê-lo sem girá-lo ou refleti-lo. Você pode descrever uma translação indicando a que distância vai mover oobjeto, e em que sentido.
  4. O quarto (e último) tipo de simetria é uma reflexão com deslizamento. Uma reflexão com deslizamento combina uma reflexão com uma translação ao longo do sentido da linha do espelho.

Uma figura, um retrato, ou um modelo são ditos simétricos se houver ao menos uma simétria que deixa a figura inalterada. Para o exemplo, as letras

ATOYOTA

formam um modelo simétrico: se você desenhar uma linha vertical através do centro do " Y " e refletir então a palavra através da linha, o lado esquerdo transforma-se no lado direito e versa vice. A palavra não muda.

Se você desenhar a figura de uma pessoa que anda e copiar para fazer uma linha infinita de pessoas andando em ambos os sentidos, você fez um modelo simétrico. Você pode transladar o grupo inteiro adiante de uma pessoa, e a procissão ficará a mesma. Este padrão tem um número infinito de simetrias, desde que você pode transladar para a frente uma pessoa, dois pessoas, ou três pessoas, ou para trás os mesmos números. Há uma simetria deste modelo para cada número inteiro zero, inteiro positivo ou negativo.

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Problemas

  1. Classifique todas as letras maiúsculas do alfabeto de acordo com suas simetrias. Para o exemplo, " A " tem uma reflexão em torno de uma linha vertical, e " R " não tem nenhuma simetria (exceto a rotação por 0 graus).
  2. Faça um modelo simétrico começando com uma forma assimétrica realizando uma única translação repetidamente ( translação também para trás pode ser usada). Isto é, decida em um sentido e em uma distância para sua translação (por exemplo, 5 cm à direita). Translade sua letra 5 cm ao direita, a seguir translade a letra novamente 5 cm à direita, etc.. Translade também a letra original 5 cm. à esquerda, etc.. Você obteve algum outro tipo de simetria (reflexões, reflexões com deslizamento, ou rotações) no processo?
  3. Faça um modelo simétrico começando com uma forma assimétrica e realize uma única reflexão com deslizamento repetidamente ( deslize também para trás). Isto é, escolha uma linha de reflexão e uma translação em um sentido paralelo à linha da reflexão. Aplique a mesma reflexão com deslizamento à forma nova que você gerou até que você chegue fora do papel. Você encontrou algum outro tipo de simetria (reflexões, traduções, ou rotações) no processo?
  4. Em uma folha de papel, desenhe uma letra R (chame ele R1) e duas linhas paralelas aproximadamente 3 cm separadas. Chame as linhas L1 e L2. Reflita o R através da primeira linha, L1, e chame-o R2. Reflita R2 através da linha L2 e chame-o R3.

    a. Como R3 está relacionado a R1? (por que tipo de simetria?)

    b. Continue seu modelo refletindo o novo R através de L1 e de L2. Continue até sair fora do papel ou até que você não obtenha nenhuma coisa nova. Este seria um modelo infinito se você tivesse um pedaço de papel infinitamente grande?

    c. Que simetrias seu modelo tem além das reflexões através de L1 e de L2?

  5. Repita a atividade precedente usando llinhas que não sejam paralelas mas cruze-a em um ângulo dos 45-graus.

    a. Agora como R3 está relacionado a R1?

    b. Continue seu modelo refletindo os novos Rs através de L1 e L2. Continue até você sair do papel ou você não obter nenhuma coisa nova. Este é um modelo infinito se você tivesse um pedaço de papel infinitamente grande?

    c.Quais simetrias o seu modelo possui além das reflexões em torno de L1 e L2?

  6. Lembra-se como fazer correntes de bonecas cortando fitas de papel dobradas? Adapte uma destas atividades de modo que possamos falar de simetrias. Invente alguma questão sobre o assunto e que seja apropriada para crianças.
  7. (Extensão) Considere modelos gerados por reflexão através de duas retas que se interceptam, mas use outros ângulos. Por exemplo, o que acontece se as retas formam angulos de 111 graus ou 60 graus? Se você puder, encontre um modelo geral que irá prever resultados para qualquer ângulo.